Oppgåve 1 (18 poeng)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_a.mp4″]

a) Vis at den deriverte til funksjonen \(O(x)= \frac{500}{x}+8x^2\) er

\(O'(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}\)

b) Deriver funksjonene

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_b_01.mp4″]

1) \(f(x)=3In(2x)\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_b_02.mp4″]

2) \(g(x)=3x\cdot e^{x^2}\)

c) Vi har gitt polynomfunksjonen: \(f(x)=x^3-3x^2-13x+15\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_c_01.mp4″]

1) Vis at f(1)=0. Bruk prolunomdivisjon til å faktorisere f(x) i førstegradsfaktorar.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_c_02.mp4″]

2) Løys ulikskapen \(f(x)\leq 0\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_d.mp4″]

d) Mengda av lava som sprutar ut per time ved eit vulkanutbrot, kan tilnærma beskrivast ved eit funksjonsuttrykk f(t). Fuksjonsverdiane er målte i tonn, og t er talet på timar etter byrjinga av utbrotet. Du får vite at: f(0)=300, f'(10)=0 og f”(10)=-10. Kva kan du seie om vulkanutbrotet på grunnlag av desse opplysningane?

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_e.mp4″]

e) Skriv så enkelt som mogleg:

\(lg(a^2*b)+lg(a*b^2)+lg(\frac{a}{b^3})\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_f.mp4″]

f) Skriv så enkelt som mogleg:

\(\frac{2x+10}{x^2-25} + \frac{x}{x+5} – \frac{2}{x-5}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_g.mp4″]

g) Ei linje I har parameterframstillinga

\(l=\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)

Eit punkt P (4 , 1) ligg utanfor linja. Rekne ut avstanden frå P til linja I.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_01_h.mp4″]

h) Eit linjestykke AB har lengde 10cm. Konstruer ein \(\Delta ABC\) der \(\angle C = 90^{\circ}\) og AC = 7cm

Oppgåve 2 (6 poeng)

I ein \(\Delta ABC\) er \(\angle A=90^{\circ}\). En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punktene D og E. Linjen gjennom B og S skjærer DE i F. Se skissen til venstre.

Du får oppgitt at DC = EC.

Vi setter \(\angle ABC=v\) , \(\angle BCA=u\) og \(\angle BFE=x\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_02_a.mp4″]

a) Forklar at \(u+v=90^{\circ}\) og at \(\angle DEC=90^{\circ}-\frac{u}{2}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_02_b.mp4″]

b) Forklar at \(\angle FBE=\frac{v}{2}\) og at \(\angle BEF=90^{\circ}+\frac{u}{2}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_02_c.mp4″]

c) Vis at \(x=45^{\circ}\)

Oppgåve 3 (7 poeng)

Vi har eit rett prisme der lengda av grunnflata er fire gonger så stor som breidda. Volumet er \(200 cm^3\).
Vi set breidda lik x cm. Sjå skissa.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_03_a.mp4″]

a) Vis at: \(h=\frac{50}{x^2}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_03_b.mp4″]

b) Vis at overflata O a prismet kan skrives:

\(O(x)=\frac{500}{x}+8x^2\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_03_c.mp4″]

c) I oppgåve 1a) i Del 1 viste du at \(O'(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}\)

Bruk den deriverte til å finne den minste overflata O som prismet kan ha.

Kva er lengda, breidda og høgda no?

Vi har eit anna rett prisme der lengda av grunnflata er tre gonger så stor som breidda. Volumet er: \(200 cm^3\).

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_03_d.mp4″]

d) Finn den minste overflata som dette prismet kan ha.

Oppgåve 4 (4 poeng)

På ein skole er det 350 elevar. 150 av dei er gutar. Ei undersøkning viser at 100 gutar og 180 jenter har med seg matpakke kvar dag.
Ein elev blir trekt ut tilfeldig. La A og B vere dei to hendingane.

A: Eleven er ein gut.

B: Eleven har med seg matpakke kvar dag.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_04_a.mp4″]

a) Forklar med ord kva vi mener med: \(P(A\cap B)\). Finn dette sannsynet.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_04_b.mp4″]

b) Finn sannsyna: P(B) og P(B|A). Er dei to hendigane A og B uavhengige?

Oppgåve 5 (9 poeng)

Punkta A(2,-1) og B(5,3) er gitt.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_a.mp4″]

a) Finn \(\overrightarrow{AB}\) og rekne ut \(\left | \overrightarrow{AB}\right |\).

Vektoren \(\overrightarrow{AC}=[-1,2]\) er gitt.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_b.mp4″]

b) Bestem koordinatene til punktet C.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_c.mp4″]

c) Rekne ut \(\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{BC}\) og kommenter svaret.

Ei rett linje I går gjennom punktet P(3,-4) og er parallell med \(\overrightarrow{AC}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_d.mp4″]

d) Finn ei parameterframstilling for linja I.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_e.mp4″]

e) Finn koordinatene til punktet der I skjer y-aksen.

Punktet Q(8,6) er gitt. Ein vektor \(\overrightarrow{QR}\) har lengda 10, og R er eit punkt på linja I.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_05_f.mp4″]

f) Bestem koordinatene til R.

Oppgåve 6 (2 poeng)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_06.mp4″]

Du får oppgitt at ein funksjon f er definert for \(x\in \left \langle 0,10 \right \rangle\). Funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbar i x=2, og ikkje kontinuerleg i x=5. Teikne ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (6 poeng)

I denne oppgåva skal vi undersøkje påstanden: *Alle primtall som er større enn 2, kan skrivast som differansen mellom to kvadrattall.*

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_07_a.mp4″]

a) Skriv av og fyll ut tabellen

I tabellen er p primtall, og \( n_{1} \) og \( n_{2}\) er naturlege tal, slik at:

\(n_{1}+n_{2}=p\)

\(n_{1}-n_{2}=1\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_07_b.mp4″]

b) Vis at vi kan skrive: \(n_{1}=\frac{p+1}{2}\) og \(n_{2}=\frac{p-1}{2}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_07_c.mp4″]

c) Bevis at påstanden i ruta ovenfor er riktig.

Oppgåve 8 (8 poeng)

Matematikaren Arkimedes (ca. 287-212 f.Kr.)studerte figuren du ser nedanfor. Det kvite området på figuren kallar vi skomakarkniven. Området er avgrensa av ein ytre halvsirkel og to indre halvsirklar. Dei to indre halvsirklane, som er fargelagde på figuren, har sentrum i D og E. Dei indre halvsirklane har radius R og r. Punkta D, C og E ligg på linjestykket AB.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_08_a.mp4″]

a) Vis at lengda av sirkelbogen AB er lik summen av lengdene av dei to sirkelbogane AC og CB.

På figuren er: \(CH \perp AB\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_08_b.mp4″]

b) Forklar at \(\Delta ACH\) er formlik med \(\Delta HCB\).

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_08_c.mp4″]

c) Bruk dette til å vise at \(CH=2\sqrt{R*r}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”cCXHSSi9Fq0″ amazon=”r1_eks_08_d.mp4″]

d) Vis at arealet av ein sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakarkniven.