Oppgåve 1 (2 poeng)

Løys likningane

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg1_a.mp4″]

a) \( 2 lgx + 3 = 5 \)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg1_b.mp4″]

b) \( 2x^2 + 2x = 12 \)

Oppgåve 2 (2 poeng)

Løys likningssystemet ved rekning

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg2.mp4″]

\( \begin{bmatrix}y=6-x^2\\ y+4=-3x\end{bmatrix}\)

Oppgåve 3 (4 poeng)

Skriv så enkelt som mogleg

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg3_a.mp4″]

a) \( {2^{-3} \cdot a^0 \cdot (a \cdot b)^2}\over{2^{-4}\cdot a^{-1}\cdot b^{2}}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg3_b.mp4″]

b) \( lg(a \cdot b)^2 – lg(\frac{a^{3}}{b^{2}}) + lg(a \cdot b^2)\)

Oppgåve 4 (3 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\( f(x) = \frac{3x – 1}{x-3}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg4_a.mp4″]

a) Lag ei skisse av grafen til

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg4_b.mp4″]

b) Bestem gjennomsnittleg veksthastigheit for funksjonen frå x = 4 til x = 7

Oppgåve 5 (8 poeng)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg5_a.mp4″]

a) Skriv opp dei ni første radene av Pascals taltrekant.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg5_b.mp4″]

b) Bruk Pascals taltrekant til å bestemme binomialkoeffisientane \( \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5 \\ 2 \end{pmatrix} og \begin{pmatrix}8 \\ 3 \end{pmatrix}\)

I oppgåvene nedanfor kan du få bruk for denne formelen:

Frå ei gruppe med 3 gutar og 5 jenter skal det veljast ein komité på 3 elevar ved loddtrekning.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg5_c.mp4″]

c) Bestem sannsynet for at det blir 1 gut og 2 jenter i komiteen.

Frå ei gruppe med 8 elevar skal det veljast ein komité. Du får vite at komiteen kan setjast saman på 28 ulike måtar.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg5_d.mp4″]

d) Kor mange elevar kan det vere i komiteen?

Oppgåve 6 (3 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x)= \frac{2}{3}x^3 + x^2 – 12x + 1\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg6_a.mp4″]

a) Bestem f'(x)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg6_b.mp4″]

b) Teikn forteiknslinja til f'(x). Bruk denne til å avgjere kvar grafen til f stig, og kvar han søkk.

Oppgåve 7 (2 poeng)

Tog A og tog B startar samtidig frå stasjon 1. Dei køyrer på kvart sitt spor til stasjon 2. Køyrelengda er 120 km for begge toga.

Gjennomsnittsfarten til tog A er v km/h, og dette toget bruker t timar på strekninga mellom stasjonane.

Gjennomsnittsfarten til tog B er 20 km/h større enn til tog A, og tog B bruker ein time kortare tid enn tog A.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg7_del1.mp4″]

Forklar at vi kan sette opp likningssystemet

\(\begin{bmatrix}v \cdot t = 120 \\ (v+20)\cdot(t-1)=120 \end{bmatrix}\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del1_oppg7_del2.mp4″]

Bestem gjennomsnittsfarten til kvart av toga.

Oppgåve 1 (6 poeng)

Ein epledyrkar har funne ut at 80 % av epla han plukkar, har god nok kvalitet til at dei kan seljast til vanleg forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og liknande.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg1_a.mp4″]

a) Ein dag plukkar han 70 eple. Bestem sannsynet for at akkurat 60 av dei kan seljast til vanleg forbruk.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg1_b.mp4″]

b) Bestem sannsynet for at minst 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk.

Epledyrkaren sel eple frå ei kasse som inneheld 80 eple av sort A og 100 eple av sort B. Epla er lagde tilfeldig ned i kassa.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg1_c.mp4″]

c) Ein kunde kjøper 20 eple. Bestem sannsynet for at kunden får akkurat 10 av kvar sort når epla blir trekte ut tilfeldig.

Oppgåve 2 (5 poeng)

Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom høgda over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hPa), under visse vilkår.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg2_a.mp4″]

a) Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme ein modell p(x) som viser lufttrykket som funksjon av høgda x over havet.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg2_b.mp4″]

b) Titicacasjøen ligg 3,8 km over havet på grensa mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen p(x) og bestem lufttrykket i denne høgda.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg2_c.mp4″]

c) Bestem ved rekning kor høgt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hPa.

Oppgåve 3 (10 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x)= x^4 – 4x^2\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg3_a.mp4″]

a) Teikn grafen til f når \( x\in \: \: <-2,5 \: , \: 2,5>\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg3_b.mp4″]

b) Bestem ved rekning skjeringspunkta grafen har med koordinataksane.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg3_c.mp4″]

c) Bruk f(x) til å avgjere kvar grafen til f stig, og kvar han søkk. Bestem koordinatane til topp- og botnpunkt på grafen til f.

Ein annan funksjon g er gitt ved

g(x) = ax^2, der a er ein konstant.

Grafen til g skal gå gjennom dei to botnpunkta på grafen til f.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg3_d.mp4″]

d) Bestem a.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg3_e.mp4″]

e) Teikn grafen til g i same koordinatsystem som grafen til f.

Oppgåve 4 (6 poeng)

Ei bedrift produserer to typar laksefôr, Godlaks og Gladlaks. Begge fôrtypane inneheld stoffa A og B.

– For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandar ein 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B.

– For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandar ein 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B.

– Bedrifta kan kvar veke få kjøpt inntil 20 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B.

– Den maksimale produksjonsmengda er inntil 35 tonn laksefôr per veke.

Bedrifta produserer x tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks kvar veke.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg4_a.mp4″]

a) Forklar at x og y må oppfylle ulikskapane

\(\begin{matrix}x\geq 0, y\geq 0 \\ 0,3x + 0,6y\leq 20\\ 0,7x + 0,4y\leq 18\\ x+y\leq 35\end{matrix}\)

Marker det området som x og y må høyre til i eit koordinatsystem.

Bedrifta sel heile produksjonen. Salsprisen for fôret Godlaks er 5 000 kroner per tonn, mens fôret Gladlaks blir selt for 8 500 kroner per tonn.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg4_b.mp4″]

b) Kor mykje må bedrifta produsere av kvar fôrtype for at salsinntekta per veke skal bli størst mogleg? Bestem denne salsinntekta.

Oppgåve 5 (9 poeng)

Ei bedrift har funne ut at dei samla kostnadene f ved å produsere x einingar av ei vare er gitt ved

\(f(x)= 55 + 0.01x^2\)

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg5_a.mp4″]

a) Dei samla kostnadene må ikkje overstige 200. Kor mange einingar kan bedrifta da høgst produsere?

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg5_b.mp4″]

b) Heile produksjonen blir seld. Salsinntekta g er gitt ved

\(g(x) = 1,6x\)

Kva for produksjonsmengder gir overskot for bedrifta? Kva for produksjonsmengd gir størst overskot? Kor stort er dette overskotet?

Dersom prisen per eining er p , kan salsinntekta skrivast som

\(h(x) = p\cdot x\)

Bedrifta vil undersøkje kor lågt prisen kan setjast dersom det skal vere mogleg å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg5_c.mp4″]

c) Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til h tangerer grafen til f. Sjå figuren.

Det kan visast at den minste prisen som vil gi balanse, er

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg5_d.mp4″]

d) Forklar at prisen er minst når p = f'(a) , der a er førstekoordinaten til tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme kor mange einingar det blir produsert og selt når prisen er minst.

[mattevideo type=”eksamen” youtube=”KNAX6UE0qdM” amazon=”s1_eks_del2_oppg5_e.mp4″]

e) Likninga f(x) = h(x) kan omformast til \(0,01x^2 – px + 55 = 0\)

Bestem ein verdi for p som gjer at denne likninga har berre éi løysing. Forklar kvifor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse.